- sınıf matematik programında açılar "Geometrik Şekiller" başlığında işlenir: öğrenci açıyı açıölçerle derece cinsinden ölçmeyi, dar, dik, geniş, doğru ve tam açıyı ayırt etmeyi, kesişen doğruların oluşturduğu ters, komşu, tümler ve bütünler açıları bulmayı öğrenir. Aynı bölümde üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamının 180° olduğu da ölçerek keşfedilir.
Program bu bölümü 5. sınıf matematiğinin işleniş sırasında birinci sıraya koyar: 7 öğrenme çıktısı ve 38 ders saatiyle yıllık 180 saatin yüzde 21'ini kaplar. Bu rehberdeki kodlar ve tanımlar doğrudan öğretim programının metninden, oyunlarla ilgili bilgiler ise LUMO oyunlarının kendi kodundan alındı.
Programda açılarla ilgili hangi kazanımlar var?
Açılar tek bir kazanıma sığmaz; "Geometrik Şekiller" başlığında açıyı doğrudan işleyen dört öğrenme çıktısı vardır (MAT.5.3.2 de açı çizimlerine dayalı deneyimleri kapsar). Kodlar ve adlar programdaki yazımla aynıdır.
| Kod | Programdaki adı | Ne anlama geliyor? |
|---|---|---|
| MAT.5.3.1 | Temel geometrik çizimler için matematiksel araç ve teknolojiden yararlanabilme | Nokta, doğru, doğru parçası, ışın, açı, çember ve dikme çizmek için gerekli aracı tanımak, uygun olanı belirlemek ve kullanmak |
| MAT.5.3.3 | Açıları ölçmek için matematiksel araç ve teknolojiden yararlanabilme | Açıölçerle derece cinsinden ölçmek; dik açının 90°, doğru açının 180°, tam açının 360° olduğunu bilmek; verilen bir açıya eş bir açı oluşturmak |
| MAT.5.3.4 | Düzlemde iki veya üç doğrunun birbirine göre durumuna bağlı olarak oluşabilecek açılara dair çıkarım yapabilme | Kesişen, dik, paralel ve çakışık doğruları ayırt etmek; ters, komşu, tümler ve bütünler açıları bulmak; ters açıların eşit olduğunu görmek |
| MAT.5.3.6 | Çokgenlerin özellikleri ile ilgili edindiği deneyimleri yansıtabilme | Açı tarafında: üçgenleri dar, dik ve geniş açılı diye sınıflandırmak, iç açılarının toplamının 180° olduğunu ölçerek bulmak |
Program, öğrencinin açıları dik açıyı referans alarak dar, dik ve geniş diye sınıflandırabildiğini kabul ederek başlar. Yeni olan, derece birimi ve açıölçerdir; program dereceyi tam açının 360 eş diliminden biri olarak tanıtır.
Açı çeşitleri (açı türleri) nelerdir?
Açının büyüklüğü kollarının uzunluğuna değil, kollar arasındaki açıklığa bağlıdır; saatte akrep ile yelkovanın boyu değişmez, aradaki açı değişir.
| Tür | Ölçüsü | Günlük hayattan örnek |
|---|---|---|
| Dar açı | 0° ile 90° arasında | Saat 1.00'de akrep ile yelkovan (30°) |
| Dik açı | Tam 90° | Saat 3.00'te akrep ile yelkovan; kitap sayfasının köşesi |
| Geniş açı | 90° ile 180° arasında | Saat 4.00'te akrep ile yelkovan (120°) |
| Doğru açı | Tam 180° | Saat 6.00'da akrep ile yelkovan |
| Tam açı | Tam 360° | Yelkovanın bir saatte attığı tam tur |
Ölçüleri birbirine eşit olan açılara eş açılar denir. Bu bir açı çeşidi değil, iki açı arasındaki bir ilişkidir: dikdörtgen biçimli bir kâğıdın dört köşesindeki açılar birbirine eştir.
Açıölçer nasıl kullanılır?
- Açıölçerin merkez işaretini (taban çizgisinin ortasındaki nokta) açının köşesine koyun.
- 0° çizgisini açının kollarından birinin tam üstüne hizalayın.
- Hizaladığınız kolda 0° hangi sıradaysa (iç ya da dış) okumaya o sırada devam edin.
- İkinci kolun yayı kestiği yerdeki sayıyı aynı sıradan okuyun. Kol yaya ulaşmıyorsa cetvelle uzatın; uzatmak açının ölçüsünü değiştirmez.
- Sağlama yapın: açı gözle dar görünüyorsa sonuç 90°'den küçük, geniş görünüyorsa 90°'den büyük olmalıdır.
Programın istediği ters iş, yani verilen bir açıya eş açı oluşturmak da aynı adımlarla yapılır: önce verilen açı ölçülür; sonra bir ışın çizilir, açıölçerin merkezi ışının başlangıç noktasına konur ve 0° çizgisi ışına hizalanır, ölçülen derece aynı sıradan işaretlenip başlangıç noktasıyla birleştirilir.
Açılarla çalışırken en sık yapılan hatalar nelerdir?
Bu dört hata kâğıtta da ekranda da kolayca yakalanır; her maddede LUMO oyunlarının hatayı nasıl görünür kıldığını yazdık.
1. Yanlış sıradan okumak. Açıölçerde biri soldan, biri sağdan başlayan iki sıra sayı vardır. 0°'nin hizalandığı sıra yerine öteki sıradan okunursa 60°'lik açı 120° diye yazılır; hatalı sonuç her zaman 180° − doğru ölçüdür. Gözle yapılan dar/geniş tahmini bu hatayı hemen ele verir. Uzay Açıları'nda dört seçenekten biri bilerek bu hatanın sonucuna ayrılmıştır (doğru ölçü 90° değilse). Açı Kâşifi'nin açıölçerinde de iki sıra vardır; okunan değer gerçeğe uzak kaldığında oyun doğru ölçüyü ve açının türünü yazar.
2. Merkezi köşeye, tabanı kola oturtmamak. Merkez işareti yerine açıölçerin kenar köşesini açının köşesine koymak ya da 0° çizgisini kolla tam çakıştırmamak ölçüyü kaydırır. Açı Kâşifi'nde açıölçer her soruda köşeden uzakta ve rastgele eğik başlar. Merkez köşeye oturup taban bir kola hizalanınca araç yeşile döner ama dereceyi söylemez; okumayı öğrenci yapar ve sayıyı kendisi yazar. 2°'ye kadar sapma doğru sayılır, sapma büyüdükçe puan düşer.
3. Tümler ile bütünleri karıştırmak. Belirtisi, 40°'lik açının bütünleri sorulduğunda 50° demektir (doğrusu 140°). Hatırlatma için şunu sorun: tamamlanan açı bir dik açı mı (90°), yoksa düz bir doğru mu (180°)? Tümler ve Bütünler Açılar oyunu hedefi tur içinde değiştirir: ilk 60 saniyede toplamı 90° olan, sonraki 60 saniyede toplamı 180° olan kart çiftleri aranır ve hedef ekranda "Σ = 90°" ya da "Σ = 180°" olarak durur. İkinci aşamada toplamı 90° eden iki kart seçmek eşleşme sayılmaz.
4. Üçgenin türüne görünen açılardan karar vermek. Bir üçgende 90° ya da daha büyük en fazla bir açı olabilir, çünkü böyle iki açı birlikte en az 180° eder ve üçüncü açıya yer kalmaz. Yani her üçgende en az iki dar açı vardır ve türü en büyük açı belirler. Program da bir üçgenin iki dik ya da iki geniş açısı olup olamayacağının tartışılmasını ister. Sihirbazın Bardakları'nın 10 perdesinden son dördünde türü belirleyen en büyük açı gizlenir ve görünen iki açı her zaman dardır. Örneğin görünen açılar 35° ve 40° ise gizli açı 180° − 35° − 40° = 105°'dir ve üçgen geniş açılıdır. Yanlış cevapta oyun nedenini açıklar, örneğin: "Bu geniş açılı üçgen — 105°'lik açısı 90°'den büyük."
Tümler ve bütünler açılar nedir?
Ölçüleri toplamı 90° olan iki açıya tümler açılar, 180° olan iki açıya bütünler açılar denir. Bir açının tümlerini bulmak için 90°'den, bütünlerini bulmak için 180°'den çıkarılır.
Çözümlü örnek 1: 35°'lik açı
- Tümleri: 90° − 35° = 55°. Kontrol: 35° + 55° = 90°.
- Bütünleri: 180° − 35° = 145°. Kontrol: 35° + 145° = 180°.
- Tümleri olan her açıda bütünler, tümlerden 90° büyüktür: 145° − 55° = 90°.
- 90°'den büyük bir açının tümleri yoktur. 120°'lik açının bütünleri 60°'dir, ama 90°'ye tamamlayacak bir açısı yoktur.
Çözümlü örnek 2: Kesişen iki doğru
İki doğru kesişince dört açı oluşur; biri 70° olsun. Yanındaki açı aynı doğru üzerinde durduğu için 180° − 70° = 110°'dir; bu ikisi komşu bütünler açılardır. 70°'nin karşısındaki ters açı da 70°, kalan açı 110°'dir. Kontrol: 70° + 110° + 70° + 110° = 360°, bir tam açı. Programdaki örnek önerme de bunu söyler: "İki doğrunun kesişiminde iki dar ve iki geniş açı veya dört dik açı meydana geliyor."
Üç doğru tek noktada kesiştiğinde altı açı oluşur. Vitray Ustası'nda bu altı açıdan yan yana iki tanesi verilir, örneğin 70° ve 60°. Üçüncüsü 180° − 70° − 60° = 50°'dir, kalan üçü bu üç açının ters açılarıdır (70°, 60°, 50°). Cevap seçenekten seçilmez, sayıyla yazılır.
Hangi LUMO oyunu hangi kazanımı çalıştırır?
LUMO oyunları MEB müfredatı temel alınarak tasarlanmıştır. Aşağıdaki kodlar her oyunun kendi kaydındaki kazanım listesinden alındı. Bütün oyunlar 5. sınıf matematik oyunları sayfasında da listelenir.
| Oyun | Kazanım | Oyunda ne yapılır? |
|---|---|---|
| Açı Kâşifi | MAT.5.3.3 | 26 sahnelik havuzdan gelen 5 gerçek açıyı (kule, çatı, vinç, pizza dilimi gibi) açıölçerle ölçüp dereceyi yazmak |
| Uzay Açıları | MAT.5.3.3 | 10 görevde dev açıölçerdeki açıyı okuyup dört seçenekten doğru açı adını ve ölçüsünü seçmek |
| Tümler ve Bütünler Açılar | MAT.5.3.4 | İki 60 saniyelik aşamada toplamı 90° ve 180° olan açı kartlarını eşleştirmek |
| Vitray Ustası | MAT.5.3.4, ek olarak MAT.5.3.2 | Üç doğrunun oluşturduğu altı açıdan verilmeyen dördünü hesaplayıp yazmak, sonra cam parçalarını yerine koymak |
| Üçgen Ustası | MAT.5.3.3 ve MAT.5.3.6 | İki dakika içinde toplamı 180° olan ve görevdeki türe (dar, dik, geniş açılı) uyan üç açı kartı seçmek |
| Sihirbazın Bardakları | MAT.5.3.6 | 10 perdede dar, dik ve geniş açılı üçgenleri ayırt edip karıştırılan bardaklarda takip etmek |
| Geometri Eşleştirme | MAT.5.3.1 | Nokta, doğru, ışın, doğru parçası ve açı gösterimlerini adlarıyla eşleştirmek; açı adında ortadaki harfin köşe olduğunu görmek |
Programın sırasını izlemek mantıklıdır: önce ölçme, sonra açılar arası ilişkiler, en son üçgenler. Aynı bölümdeki Pergel Atölyesi ise açıyı değil çemberi çalıştırır (MAT.5.3.1).
Sık Sorulan Sorular
Açılar konusu 5. sınıf matematikte hangi bölümde? "Geometrik Şekiller" başlığında (MAT.5.3); açılar burada temel geometrik çizimler, çokgenler ve çemberle birlikte işlenir. Konuyu tekrar eden farklı sınıflardaki öğrenciler de bu rehberdeki sırayı izleyebilir: ölçme, açılar arası ilişkiler, üçgenin açıları.
Üçgenin iç açıları toplamı bu programda var mı? Evet. Program, açı ölçme ve kâğıt kesme çalışmalarıyla üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamının 180° olduğunun bulunmasını ister. Üçgen dışındaki çokgenlerin iç açıları toplamına bu bölümde değinilmez.
Tümler ya da bütünler açıların yan yana olması gerekir mi? Hayır. Tümler ya da bütünler olmak yalnızca ölçülerin toplamına bağlıdır; iki açı ayrı yerlerde durabilir. Köşeleri ve birer kolları ortak olan, diğer kolları da ortak kolun farklı tarafında bulunan açılara komşu açılar denir; komşu açıların ölçüleri toplamı 90° ise komşu tümler, 180° ise komşu bütünler açılardır; program bu kavramları ayrıca tanımlar.
Kaynak
- Millî Eğitim Bakanlığı (2024). Ortaokul Matematik Dersi Öğretim Programı (5, 6, 7 ve 8. Sınıflar), Türkiye Yüzyılı Maarif Modeli. Süre tablosu s. 10; "Geometrik Şekiller" başlığı s. 38-46.